является ли поле является соленоидальным

Соленоидальное векторное поле

Содержание

Определение

Векторное поле называется соленоидальным или вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

2c28670ef5e8df1625ecbfe055b33759.

960683f94661191d5b89eb7125a90768

всюду на этой области (подразумевается, что дивергенция всюду на этой области существует). Поэтому соленоидальные поля называют также бездивергентными.

Для широкого класса областей это условие выполняется тогда и только тогда, когда 031287b7d833cd045e39cc3a0e273adcимеет векторный потенциал, то есть существует некое такое векторное поле f4c056fda3f5da08150c11a9de9848ef(векторный потенциал), что 031287b7d833cd045e39cc3a0e273adcможет быть выражено как его ротор:

ff12af119a0b4f5aab52b8864710c908

Проще говоря, поле является вихревым, если оно не имеет источников. Силовые линии такого поля не имеют ни начала, ни конца, и являются замкнутыми. Вихревое поле порождается не покоящимися зарядами (источниками), а изменением связанного с ним поля (например, для электрического поля порождается изменением магнитного). Поскольку в природе не существует магнитных зарядов, то магнитное поле всегда является вихревым, и его силовые линии всегда замкнуты. Силовые линии постоянного магнита, несмотря на то, что выходят из его полюсов (словно имеют источники внутри), на самом деле замыкаются внутри магнита. Поэтому, разрезав магнит надвое, не удастся получить два отдельных магнитных полюса.

Примеры

Этимология

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Соленоидальное векторное поле» в других словарях:

Векторное поле — Векторное поле это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… … Википедия

Потенциальное векторное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном… … Википедия

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ — векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что дивергенция вектора а С. п. равна нулю: diva=0. Примером С. п. служит магн. поле, divB=0, где В вектор магнитной индукции. С. п. можно всегда представить в виде a=rot b; вектор b наз.… … Физическая энциклопедия

Соленоидальное поле — векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что Дивергенция вектора а С. п. равна нулю: div а = 0. Примером С. п. служит Магнитное поле, div В = 0, где В вектор магнитной индукции (См. Магнитная индукция). С. п. можно всегда… … Большая советская энциклопедия

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ — трубчатое поле, векторное поле, не имеющее ни источников, ни стоков, т. е. дивергенция к рого равна нулю во всех его точках. Поток С. п. через любую замкнутую кусочно гладкую ориентированную границу любой области равен нулю. С. и. характеризуется … Математическая энциклопедия

Градиентное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве … Википедия

Потенциальное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве … Википедия

Теорема разложения Гельмгольца — Теорема разложения Гельмгольца утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты: Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду … Википедия

Векторный потенциал — У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал. Эта статья о математическом термине. О физическом см. векторный потенциал электромагнитного поля. В векторном анализе векторный потенциал это векторное поле,… … Википедия

Источник

Соленоидальное поле и его свойства.

Векторное поле image1068называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области image138image1070

Свойства соленоидального поля.

1) Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.

Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.

2) Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

image1075
image1077

image1078 image1079 image1080 image178image178

Рассмотрим две замкнутых поверхности image989и image993, окружающие изолированный источник (сток). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберем на ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону, введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к «верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и «нижние» части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям. Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежит выше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости. Вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости. В той и другой области поле соленоидально. Следовательно,

поток векторного поля через границы этих областей равен нулю.

image1084,

image1086.

Складывая эти выражения, получим image1088.

3) Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

image1089 Обозначим Sбок –боковую поверхность векторной трубки. На боковой поверхности направления нормали и векторного поля ортогональны, так как векторная трубка образована векторными линиями, а вектор поля направлен по касательной к векторной линии. Поэтому поток векторного поля через боковую поверхность векторной трубки равен нулю (ПSбок.= 0). Учитывая направления нормалей и вектора поля на сечениях векторной трубки S1 и S2, а также соленодальность поля, получим image1091.

Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля.

В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля image973вектор

image1093

Свойства ротора.

1) Линейность image1095

image1097 image1099= image1101+

image1103= image1105.

2) image1107— постоянное векторное поле.

image1109image1111

3) image1113

image1115=

image1117+ image1119= image1121.

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность image017с кусочно-гладкой границей image786.

Пусть компоненты векторного поля image973непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива формула Стокса

image1124

Замечание. Нормаль к поверхности image017проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура image786, совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

image1126 image1127 Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стокса состоит из трех независимых частей (в силу произвольности компонент векторного поля). Докажем одну из этих частей, остальные формулы доказываются аналогично. Докажем image1129— часть формулы Стокса, в которой содержится только компонента P. Предположим, что поверхность image017описывается уравнением image1131. Тогда нормаль к поверхности

представляет собой вектор image1133

Отсюда видно, что image1135. Вспомним еще, что image1137.

image1139 image1141image1143

(на поверхности image017 image1131, поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности image017)

= image1145

Используем формулу Грина для области D с ее границей image1146. Ее можно записать в виде

image1148. Нам понадобится только та ее часть, которая относится к функции P image1150. Продолжаем равенство дальше.

= image1152.

В самом деле, на контуре image1154, а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур image1146— это проекция контура image786на плоскость OXY (параллельно оси OZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интеграломвекторного поля image909по дуге L называется криволинейный интеграл image1157.

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляциейвекторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

image1159.

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

image1161.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность image017, границей которой служит контур image786. Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим

image1163.

Здесь, как и ранее image017— обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур image786к точке M, получим

image1165

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором image1167). Левая часть – это проекция ротора на это направление.

Если направление image1167совпадает с направлением ротора и image1167— единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью image1169

Векторное поле линейной скорости image1171.

image1173,

image1175

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

Источник

Выяснить, является ли вкторное поле соленоидальным, потенциальным, вычислить поток и циркуляцию.

Помогите пожалуйста! Я по этой теме вообще не понимаю ничего sad

б) по теореме Остроградского-Гаусса найти поток векторного
_
поля F(M) через полную поверхность пирамиды OABC в
направлении внешней нормали;
_
в) проверить, является ли поле F(M) потенциальным;
_
г) по теореме Стокса найти циркуляцию поля F(M) по
треугольнику ABC в направлении, которое из начала
координат видится по часовой стрелке. Сделать чертеж.

Выяснить, является ли поток символов введённый с клавиатуры числом
Выяснить, является ли поток символов введённый с клавиатуры числом? написать на ассемблере.

Каждый седьмой человек на планете является потенциальным зрителем YouTube
Зрительская аудитория портала YouTube превысила 1 млрд человек в месяц. О достижении важного рубежа.

[WPF] Вызывающий поток не может получить доступ к данному объекту, т.к. владельцем этого объекта является другой поток
Здравствуйте пытаюсь реализовать кросспоточное пополнение listbox в WPF С#, но и в итоге получаю.

Решение

Решение.
По формуле Стокса циркуляция векторного
_
поля F(M) по треугольнику OABC в направлении, которое
из начала координат видится по часовой стрелке равна:

Вопрос: откуда вообще эти цифры берутся?

Вычислить циркуляцию вектора по замкнутой линии
Вычислить циркуляцию вектора F по замкнутой линии L, образованной пересечением поверхностей, с.

tickВычислить циркуляцию плоского векторного поля двумя способами
1)непосредственно 2)по формуле грина P(x,y)=xy^2 Q(x,y)=x-y L:(y=4x^2)(y=4) Начал я с.

Источник

Является ли поле является соленоидальным

Поле 1называется соленоидалъным или трубчатым, если в каждой его точке дивергенция равна нулю;

image1

Соленоидальиое поле называют также несжимаемым. Происхождение последнего названия достаточно понятно в связи с гидромеханическим смыслом дивергенции. Простейшим примером несжимаемого поля является поле скоростей потока несжимаемой жидкости. Причина названия такого поля трубчатым (солепоидальным) выяснится дальше.

2. Поле ротации.

Рассмотрим поле ротации произвольного векторного поля Р:

image2

image3

Вычислим дивергенцию этого поля:

image4

Теорема. Поле ротации произвольного векторного поля является соленоидальным, т. е.

image5

Замечание. Чрезвычайно наглядно это утверждение выглядит в операторной форме:

image6

Но мы знаем, что векторно-скалярное произведение, содержащее два одинаковых множителя, равно нулю. Поэтому

Источник

Поделиться с друзьями
admin
Универсальный информационный портал
Adblock
detector